১২তম বেসরকারি শিক্ষক নিবন্ধন ও প্রত্যয়ন পরীক্ষা-(স্কুল/সমপর্যায়)-১২.০৬.২০১৫/গণিত এর প্রশ্ন পরুন ।

প্রশ্নঃ আয়াতাকার একটি ক্ষেত্রের প্রস্থ অপেক্ষা দৈর্ঘ্য ১২ মিটার বড় এবং ক্ষেত্রটির পরিসীমা ১৩৬ মিটার হলে ক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ কত ?

বর্ণনাঃ

প্রস্থ x  মি. , দৈর্ঘ্য (x + ১২) মি. 
শর্তমতে, ২( x + ১২+x) =১৩৬
বা, ২x  + ১২ =৬৮
বা, ২x =৫৬ 
.'. x =২৮  
.'. প্রস্থ ২৮ মি. এবং দৈর্ঘ্য (২৮ +১২) বা ৪০ মি. 

প্রশ্নঃ প্রথম ও দ্বিতীয় সংখ্যার গড় ২৫ । প্রথম, দ্বিতীয় ও তৃতীয় সংখ্যার গড় ৩০ হলে , তৃতীয় সংখ্যাটি কত ?

বর্ণনাঃ

 ১ম , ২য়  ও ৩য় সংখ্যার সমষ্টি = ৩ গুণ ৩০ =৯০
১ম ও ২য়             "          "     = ২ গুন ২৫ =৫০
                                .'. ৩য় সংখ্যা = ৪০ 

প্রশ্নঃ একটি খাড়া খুঁটি মাটি থেকে ৩ মিটার ওপরে ভেঙ্গে বিচ্ছিন্ন না হয়ে অন্যপ্রান্ত ভূমিতে ৪ মিটার দূরত্বে স্পর্শ করলে খুঁটির উচ্চতা কত ?

বর্ণনাঃ

 খুঁটির উচ্চতা AD= h মি. 
AC = ৩ মি. 
ABC  সমকোণী ত্রিভুজ হতে 
$$\begin{gathered} (h-৩{)}^{২} \\ ={৪}^{২} +{৩}^{২} \\ \Rightarrow (h-৩{)}^{২}=২৫ \\ \Rightarrow h-৩=৫ \\ \Rightarrow h=৫+৩ \\ .\text{'}. h =৮ \end{gathered}$$
.'. খুঁটির উচ্চতা ৮ মি.

প্রশ্নঃ একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ১৮ বর্গমিটার হলে, কর্ণের দের্ঘ্য কত ?

বর্ণনাঃ

বর্গক্ষেত্রের বাহু a একক $$\begin{gathered} a^2=১৮ \\ \Rightarrow a=\sqrt{৯\times ২} \\ =৩\sqrt{২} \end{gathered}$$
.'. কর্ণের দৈর্ঘ্য =$=\sqrt{২}a$
$$\begin{gathered} =\sqrt{২}\times ৩\sqrt{২} \\ =৬ \end{gathered}$$

প্রশ্নঃ পাঁচটি ঘন্টা একত্রে বেজে যথাক্রমে ৫, ১০, ১৫, ২০ ও ২৫ সেকেন্ড অন্তর বাজতে লাগল, কতক্ষণ পর ঘন্টাগুলো আবার একত্রে বাজবে ?

বর্ণনাঃ

 সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু ই হবে নির্ণেয় সময়। 
২|৫,১০,১৫,২০,২৫
    ৫| ৫,৫,১৫,১০,২৫
   ১,১,৩,২,৫
.'.ল.সা.গু = ২গুন ২গুন ৩ গুন ৫ গুন ৫ 
=৩০০ সেকেন্ড 
=৫ মিনিট 

প্রশ্নঃ দুটি সংখ্যার গুণফল ৫৪ এবং ল.সা.গু ১৮ হলে, তাদের গ.সা.গু কত ?

বর্ণনাঃ

সংখ্যা দুটির গ.সা.গু= সংখ্যা দুটির গুনফল/সংখ্যা দুটির ল.সা.গু 
=$$\begin{gathered} \frac{৫৪}{১৮} \\ =৩ \end{gathered}$$

প্রশ্নঃ শতকরা বার্ষিক ১২ টাকা হারে ৬০০ টাকার ৬ মাসের সুদ কত ?

বর্ণনাঃ

 I= pnr 
=৬০০ $$\begin{gathered} \times \frac{১}{২}\times \frac{১২}{১০০} \\ .\text{'}. I =৩৬ \end{gathered}$$
 এখানে, p= ৬০০ $$\begin{gathered} r=\frac{১২}{১০০} \\ n=\frac{৬}{১২} \\ =\frac{১}{২} \end{gathered}$$

প্রশ্নঃ ১০০ টাকায় ১৫ টি কমলা ক্রয় করে, ১০০ টাকায় ১২ টি কমলা বিক্রয় করলে, শতকরা কত লাভ বা ক্ষতি হবে ?

বর্ণনাঃ

১৫ টি কমলার ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা 
.'. ১ "   "   " $\frac{১০০}{১৫}"$
$=\frac{২০}{৩}$টাকা ১২ টি কমলার বিক্রয়মূল্য ১০০ টাকা 
.'. ১  "    "    " $\frac{১০০}{১২}$ 
$=\frac{২৫}{৩}$ টাকা
.'. লাভ =$$\begin{gathered} \frac{২৫}{৩}-\frac{২০}{৩} \\ =\frac{২৫-২০}{৩} \\ =\frac{৫}{৩} \end{gathered}$$
.'. শতকরা লাভের হার $$\begin{gathered} =\frac{{\displaystyle \frac{৫}{৩}}}{{\displaystyle \frac{২০}{৩}}}\times ১০০ \\ =\frac{৫}{৩}\times \frac{৩}{২০}\times ১০০ \\ =২৫ \end{gathered}$$

প্রশ্নঃ ৪% হার মুনাফায় কোনো টাকার ২ বছরের মুনাফা ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য ১ টাকা হলে, মূলধন কত ?

বর্ণনাঃ

 চক্রবৃদ্ধি ও সরল মুনাফার পার্থক্য =১ 
বা, p{(১ +r)n -১-nr}=১
বা p {(১+০.০৪)২ -১ -(২গুন ০.০৪)}=১
বা p (১.০৮১৬ -১-০.০৮)
=১ 
বা p=$$\begin{gathered} \frac{১}{০.০০১৬} \\ .\text{'}. p=৬২৫ \end{gathered}$$

প্রশ্নঃ একটি ত্রিভুজের ভূমি তার উচ্চতার দ্বিগুণ অপেক্ষা 6 সেমি বেশি, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 810 বর্গ সেমি হলে, এর উচ্চতা কত ?

বর্ণনাঃ

$$\begin{gathered} a=\sqrt{6}+\sqrt{5} \\ .\text{'}.\frac{1}{a}=\frac{1}{\sqrt{6}{\displaystyle +}{\displaystyle \sqrt{5}}} \\ =\frac{\sqrt{6}{\displaystyle -}{\displaystyle \sqrt{5}}}{(\sqrt{6}+\sqrt{5})(\sqrt{6}-\sqrt{5})} \\ =\sqrt{6}-\sqrt{5} \\ .\text{'}.a-\frac{1}{a}=2\sqrt{5} \\ এখন, \frac{a^6-1}{a^3} \\ =\frac{a^6}{a^3}-\frac{1}{a^3} \\ =a^3-\frac{1}{a^3} \\ =(a-\frac{1}{a}{)}^3 +3.a.\frac{1}{a}(a-\frac{1}{a}) \\ =(2\sqrt{5}{)}^3 +3.a.\frac{1}{a}(a-\frac{1}{a}) \\ =(2\sqrt{5}{)}^3 +3\times 2\sqrt{5} \\ =40\sqrt{5} +6\sqrt{5} \\ =46\sqrt{5} \end{gathered}$$

প্রশ্নঃ সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পর সমান হলে সামান্তরিকটি হবে_____

বর্ণনাঃ

সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পর সমান হলে কোণগুলো সমকোণ হয়।
 (যে সামান্তরিকের একটি কোণ  সমকোণ তা একটি আয়ত)। 

প্রশ্নঃ বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি করলে, ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে ?

বর্ণনাঃ

মনে করি, ১ম বৃত্তের ব্যাসার্ধ  $r_1=\frac{d}{2}$ 
২য় "  "   "  $r_2=\frac{3d}{2}$$.\text{'}.3d=\frac{3r}{2}$
১ম ক্ষেত্রে ক্ষেত্রফল $\mathrm{\pi }\frac{{\mathrm{d}}^2}{4}$ 
২য়  "   "   " $\mathrm{\pi }\frac{9{\mathrm{d}}^2}{4}$ 
$$\begin{gathered} .\text{'}.\frac{\mathrm{\pi }{\displaystyle \frac{9{\mathrm{d}}^2}{4}}}{\mathrm{\pi }{\displaystyle \frac{{\mathrm{d}}^2}{4}}} \\ =\frac{9{\mathrm{d}}^2}{4}\times \frac{4}{{\mathrm{d}}^2} \\ =9 \end{gathered}$$

.'. ক্ষেত্রফল 9  গুণ বৃদ্ধি পাবে। 

প্রশ্নঃ $a=\sqrt{6}+\sqrt{5}$ $\frac{a^6-1}{a^3}$ এর মান কত?

বর্ণনাঃ

$$\begin{gathered} a=\sqrt{6}+\sqrt{5} \\ .\text{'}.\frac{1}{a}=\frac{1}{\sqrt{6}{\displaystyle +}{\displaystyle \sqrt{5}}} \\ =\frac{\sqrt{6}{\displaystyle -}{\displaystyle \sqrt{5}}}{(\sqrt{6}+\sqrt{5})(\sqrt{6}-\sqrt{5})} \\ =\sqrt{6}-\sqrt{5} \\ .\text{'}.a-\frac{1}{a}=2\sqrt{5} \\ এখন, \frac{a^6-1}{a^3} \\ =\frac{a^6}{a^3}-\frac{1}{a^3} \\ =a^3-\frac{1}{a^3} \\ =(a-\frac{1}{a}{)}^3 +3.a.\frac{1}{a}(a-\frac{1}{a}) \\ =(2\sqrt{5}{)}^3 +3.a.\frac{1}{a}(a-\frac{1}{a}) \\ =(2\sqrt{5}{)}^3 +3\times 2\sqrt{5} \\ =40\sqrt{5} +6\sqrt{5} \\ =46\sqrt{5} \end{gathered}$$

প্রশ্নঃ যদি $a^3-b^3=513$ এবং $a-b=3$ হয়, তবে ab এর মান কত?

বর্ণনাঃ

$$\begin{gathered} a^3-b^3=513 \\ \Rightarrow (a-b{)}^3+3ab (a-b) =513 \\ \Rightarrow (3{)}^3 +3ab \times 3=513 \\ \Rightarrow 9ab =513-27 \\ \Rightarrow ab=\frac{486}{9} \\ .\text{'}. ab=54 \end{gathered}$$

প্রশ্নঃ $5{\log }^3-{\log }^9=$ কত?

বর্ণনাঃ

 $$\begin{gathered} 5 \log 3 - \log 9 \\ =5\log 3 -\log 3^2 \\ =5 \log 3 -2 \log 3 \\ =3 \log 3 \\ =\log 3^3 \\ =\log 27 \end{gathered}$$

প্রশ্নঃ $x^3+6x^{2}y+11x{y}^2+6y^3$ এর বুৎপাদক বিশ্লেষণ কোনটি?

বর্ণনাঃ

$$\begin{gathered} x^3 +6x^{2}y +11x{y}^2 +6y^3 \\ =x^3+x^{2}y+5x^{2}y +5x{y}^2 +6x{y}^2 +6y^3 \\ =x^2(x+y) +5xy (x+y) +6y^2(x+y) \\ =(x+y) (x^2+5xy +6y^2) \\ =(x+y) (x^2 +3xy +2xy +6y^2) \\ =(x+y) (x+3y) (x+2y) \end{gathered}$$

প্রশ্নঃ a এর মান কত হলে $9-12x+a{x}^2$ একটি পূর্ণবর্গ রামি হবে?

বর্ণনাঃ

$$\begin{gathered} 9-12x +a{x}^2 \\ =3^2-2.3.2x+a{x}^2 \end{gathered}$$ রাশিমালা হতে স্পষ্ট $a{x}^2=(2x{)}^2$ হলে রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে। $\Rightarrow a{x}^2=4x^2$ " "   "  "  
.'. a=4  "  "  "   " 

প্রশ্নঃ $(\sqrt{3}{)}^{x+1}=(\sqrt[3]{3}{)}^{2x-1}$ এর সমাধান কত?

বর্ণনাঃ

$$\begin{gathered} ({\sqrt{3)}}^{x+1}=(\sqrt[3]{3}{)}^{2x-1} \\ \Rightarrow ({\sqrt{3)}}^{x+1}=3\frac{2x-1}{3} \\ \Rightarrow 3\frac{x+1}{2} =3\frac{2x-1}{3} \\ \Rightarrow \frac{x+1}{2}=\frac{2x-1}{3} \\ \Rightarrow 4x-2=3x +3 \\ \Rightarrow 4x-3x =3 +2 \\ .\text{'}. x=5 \end{gathered}$$

প্রশ্নঃ $9x^2+16y^2$ এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ রাশি হবে?

বর্ণনাঃ

মনে করি,  a যোগ করতে হবে $$\begin{gathered} 9x^2 +16y^2+a \\ =(3x{)}^2+(4y{)}^2 +2.3x.4y \\ \Rightarrow 9x^2 +16y^2 +a \\ =(3x{)}^2+(4y{)}^2 +24xy \\ .\text{'}. a =24xy \end{gathered}$$

প্রশ্নঃ নিচের তথ্যগুলো লক্ষ্য করুন- i) বৃত্তে স্পর্শক স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের ওপর লম্ব ii) অর্ধবৃত্তস্ত কোন এক সমকোণ iii) বৃত্তের সকল সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী

বর্ণনাঃ (i) , (ii) , (iii) প্রত্যেকটি জ্যামিতিক প্রতিজ্ঞা।

প্রশ্নঃ একটি $∆ABC$ এ BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করা হলো, যেখানে $\angle A=45°\angle B=60°$ হলে $\angle ACD$?

বর্ণনাঃ

 ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণ বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান 
$$\begin{gathered} .\text{'}.\angle ACD =\angle A +\angle B \\ =45° +60° \\ =105° \end{gathered}$$

প্রশ্নঃ সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য যদি ‘a’ হয় তবে ক্ষেত্রফল হবে-

বর্ণনাঃ

 সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a  একক হলে ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র 
$\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2$ বর্গ একক। 

প্রশ্নঃ একটি রেখাংশের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ঐ রেখাংশের এক- তৃতীয়াংশের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের কতগুণ?

বর্ণনাঃ

 মনে করি, 
রেখাংশের দৈর্ঘ্য x একক
.'. ক্ষেত্রফল $$\begin{gathered} x^2 \frac{x}{3} \\ \frac{x^2}{9} \\ .\text{'}.\frac{x^2}{{\displaystyle \frac{x^2}{9}}}=x^2\times \frac{9}{x^2} \\ =9 \end{gathered}$$

প্রশ্নঃ PQRS সামান্তরিকের $\angle P=100°$ তাহলে $\angle Q$ মান কত?

বর্ণনাঃ

সামান্তরিকের বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান। 
.'.$$\begin{gathered} \angle P=\angle R=100° \\ .\text{'}.\angle Q=\angle S \\ =\frac{360°-200°}{2} \\ =\frac{160°}{2} \\ =80° \end{gathered}$$