প্রাথমিক ও গণশিক্ষা মন্ত্রণালয়ের পিটিআই ইনস্ট্রাক্টর-১৫.০৬.২০১৬/গণিত এর প্রশ্ন পরুন ।

প্রশ্নঃ $a-\frac{1}{a}=6$ হলে $a^2+\frac{1}{a^2}$ এর মান কত?

বর্ণনাঃ

$$\begin{gathered} x^2+\frac{1}{x^2}=38 \\ \Rightarrow (x-\frac{1}{x}{)}^2+2.x.\frac{1}{x}=38 \\ \Rightarrow (x-\frac{1}{x}{)}^2=36 \\ .\text{'}.x-\frac{1}{x}=\pm 6 \end{gathered}$$

প্রশ্নঃ টাকায় ১৫টি করে মার্বেল ক্রয় করে টাকায় ২০টি করে বিক্রয় করলে শতকরা কত ক্ষতি হবে?

বর্ণনাঃ শতকরা লাভ =$\frac{১৫-২০}{২০}\times ১০০\%$ লাভ = ক্রয়কৃত জিনিস - বিক্রয়কৃত জিনিস /বিক্রয়কৃত জিনিস $\times$ ১০০% $$\begin{gathered} \frac{-৫}{২০}\times ১০০\% \\ =-২৫\% \end{gathered}$$ অর্থাৎ শতকরা ক্ষতি ২৫% ।

প্রশ্নঃ কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে ২, ৩, ৪, ৫, ৬ দিয়ে ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে ১ অবশিষ্ট থাকে?

বর্ণনাঃ

 নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি ২,৩,৪,৫,৬ এর ল.সা.গু অপেক্ষা ১ বড় ।  
এখন,  ২| ২,৩,৪,৫,৬
               ৩|১,৩,২,৫,৩
                   ১,১,২,৫,১
.'. ২,৩,৪,৫,৬ এর ল.সা.গু ৬০ । 
.'. নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি (৬০+১) বা ৬১ । 

প্রশ্নঃ ২, ৮, ১৮, ৩২-- ধারাটির ৫ম পদ হবে-

বর্ণনাঃ ২,৮,১৮,৩২,৫০ ৬,১০, ১৪, ১৮ অর্থাৎ ধারাটির পঞ্চম পদ ৫০ [৩২ +১৮=৫০]

প্রশ্নঃ একটি সমান্তর ধারার প্রথম পদ 1, শেষ পদ 99 এবং সমষ্টি 2500 হলে ধারাটির সাধারণ অন্তর কত?

বর্ণনাঃ

 সমান্তর ধারার ক্ষেত্রে , 
n  সংখ্যক পদের সমষ্টি =$\frac{n}{2}\{2a+(n-1\left)d\right\}$
$\Rightarrow 2500=\frac{n}{2}\{2a+(n-1\left)d\right\}..$
আবার,
n তম পদ  =a+ (n-1)d
.'. 99 =1+ (n-1)d 
.'. (n-1)d =99-1
=98 
(i)  সমীকরণে (ii) নং এর মান বসিয়ে পাই  $$\begin{gathered} \Rightarrow 2500=\frac{{\displaystyle n}}{{\displaystyle 2}}(2a+98) \\ \Rightarrow 2500=\frac{n}{2}(2.1+98) \\ \Rightarrow 2500=\frac{n}{2}\times 100 \\ \Rightarrow n=\frac{2500\times 2}{100} \\ .\text{'}. n=50 \end{gathered}$$
(ii) নং সমীকরণে  n  এর মান বসিয়ে - 
(50-1)d =98 
বা, 49 d =98 
.'. $$\begin{gathered} .\text{'}. d=\frac{98}{49} \\ =2 \end{gathered}$$

প্রশ্নঃ সরল সুদের হার শতকরা কত হলে যে কোনো মূলধন ৮ বছর সুদে আসলে তিনগুণ হবে?

বর্ণনাঃ

 সরল সুদের ক্ষেত্রে, 
S=p(1+ nr) 
যেখানে,  S=  সুদ- আসল বা মুনাফা- আসল 
p=  মূলধন (টাকা) n= সময় (বছরে) 
r = মুনাফা বা সুদের হার ( %) 
 এখানে, S=3p 
p=p
n=8 
r=? 
সূত্রানুযায়ী, 
3p =p(1+8r) 
বা,  3 =(1+8r) 
বা, 8r = 2 
.'. r=$$\begin{gathered} \frac{2}{8}\times 100 \\ =25\% \end{gathered}$$

প্রশ্নঃ পিতার বর্তমান বয়স পুত্রের বর্তমান বয়সের তিনগুণ এবং ১০ বছর পরে পিতার বয়স পুত্রের বয়সের দ্বিগুণ হবে। পিতার বর্তমান বয়স কত?

বর্ণনাঃ

 ধরি , পুত্রের বর্তমান x  বছর 
.'. পিতার "  "   " 3x 
 ১০ বছর  পরে পিতার বয়স = (3x +10) বছর 
১০ " " পুত্রের  " = x +10 
প্রশ্নমতে , 
3x +10 =2 (x+10) 
বা, 3x +10 =2x +20 
বা, 3x -2x =20-10
.'.x=10 
.'. পিতার বর্তমান বয়স $3\times 10$ বা 30  বছর। 

প্রশ্নঃ কোনটি ক্ষুদ্রতম সংখ্যা?

বর্ণনাঃ

$$\begin{gathered} \frac{১১}{৪৫}=০.২৪৪ \\ \frac{২}{৯}=০.২২২ \\ \frac{৪}{২৭}=০.১৪৮ \\ ও \frac{৭}{৩৬}=০.১৯৪ \\ .\text{'}. \frac{১১}{৪৫}>\frac{২}{৯}>\frac{৭}{৩৬}>\frac{৪}{২৭} \end{gathered}$$
.'. ক্ষুদ্রতম সংখ্যা $\frac{৪}{২৭}$
 

প্রশ্নঃ নিচের কোন সংখ্যাটি $\sqrt{2}$ ও $\sqrt{3}$এর মধ্যবর্তী মূলদ সংখ্যা?

বর্ণনাঃ

$$\begin{gathered} \sqrt{3}=1.732 \\ \sqrt{2}=1.414 \end{gathered}$$ 
$এখন, \sqrt{2} ও \sqrt{3}$ এর মধ্যবর্তী মূলদ সংখ্যা হবে যা 1.414 থেকে বড় কিন্তু 1.732 থেকে ছোট এবং যাকে $\frac{p}{q}$ আকারে প্রকাশ করা যায় যেখানে, $p\in z$ এবং $q=not 0.$ উল্লিখিত শর্ত পূরণ করে 1.5  সংখ্যাটি  
.'. 1.5  হলো নির্ণেয় মূলদ সংখ্যা । 

প্রশ্নঃ U={1,2,3,4,5}, A={1,2,4} B={2,4,5} হলে $(A^c\cup B^c)$ হবে__

বর্ণনাঃ

$$\begin{gathered} {A}^c=\cup -A \\ =\{1,2,3,4,5\}-\{2,4,5\} \\ =\{3,5\} \\ {B}^c=U-B \\ =\{1,2,3,4,5\}-\{2,4,5\} \\ =\{1,3\} \\ .\text{'}. A^c\cup B^c \\ =\{3,5\}U\{1,3\} \\ =\{1,2,3\} \end{gathered}$$

প্রশ্নঃ কোনটি বৃহত্তম ?

বর্ণনাঃ

$$\begin{gathered} \sqrt{0.3}=0.5477 \\ 0.3=0.3000 \\ 0.3\text{'}=0.3333 \\ \frac{2}{5}=0.4000 \\ .\text{'}.\sqrt{0.3 } \end{gathered}$$
ই বৃহত্তম 

প্রশ্নঃ $a^2=25,b^2=49$ হলে ab এর মান কত?

বর্ণনাঃ

$$\begin{gathered} a^2=25 \\ =(\pm 5{)}^2 \\ .\text{'}.a=\pm 5 \\ {b}^2=49 \\ =(\pm 7{)}^2 \\ .\text{'}.b=\pm 7 \\ .\text{'}. ab=5\times 7 \\ =35 \\ ab=(-5) \times (-7) \\ =35 \end{gathered}$$

প্রশ্নঃ যদি $\sqrt{0.04\times 0.4\times a}=0.4\times 0.04\times \sqrt{b}$ হয়, তবে $\frac{a}{b}$ এর মান কত?

বর্ণনাঃ

$$\begin{gathered} \sqrt{0.04\times 0.4\times a}=0.4\times 0.04\times \sqrt{b} \\ .\text{'}. 0.04\times 0.4\times a \\ =0.4\times 0.4\times 0.04\times 0.04\times b \\ \Rightarrow \frac{a}{b}=0.4\times 0.04 \\ .\text{'}. \frac{a}{b}=0.016 \end{gathered}$$

প্রশ্নঃ $\log 2{\sqrt{5}}^{400=x}$ হলে, x এর মান কত?

বর্ণনাঃ

$$\begin{gathered} {\log }_2{\sqrt{5}}^{400} \\ ={\log }_2{\sqrt{5}}^{{20}^2} \\ ={\log }_{2\sqrt{5}}(4\times 5) \\ ={\log }_2\sqrt{5}(2\sqrt{5}{)}^4 \\ =4{\log }_2{\sqrt{5}}^2\sqrt{5} \\ =4{{\log }_{2\sqrt{5}}}^{2\sqrt{5}} \\ =4\times 1 \\ =4 \\ .\text{'}.x=4 \end{gathered}$$

প্রশ্নঃ $x^2-8x-8y+y^2+16$এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণ বর্গ হবে?

বর্ণনাঃ

 x=y=2 z এবং  xyz =256 
.'. y=x 
ও z= $\frac{x}{2}$
এখন

$$\begin{gathered} x.x.\frac{x}{2}=256 \\ \Rightarrow x^3=512 \\ \Rightarrow x^3=8^3 \\ .\text{'}. x=8 \end{gathered}$$

প্রশ্নঃ দুটি সংখ্যার সমষ্টি ১০ এবং তাদের গুণফল ২০ সংখ্যা দুটির গুণিতক বিপরীত সংখ্যার যোগফল কত?

বর্ণনাঃ

 ধরি, সংখ্যা দুটি যথাক্রমে x ও y 
.'. x +y =10 
$$\begin{gathered} (x-y{)}^2 \\ =(x+y{)}^2 -4xy \\ ={10}^2 -4.20 \\ =100 -80 \\ =20 \\ .\text{'}. x-y =\sqrt{20} \\ .\text{'}. x=\frac{10+\sqrt{20}}{2} \\ x+y =10 \\ x-y =\sqrt{20} \\ .\text{'}. 2y =10-\sqrt{20} \\ .\text{'}. y=\frac{10-\sqrt{20}}{2} \\ x=\frac{10+\sqrt{20}}{2} \\ \frac{1}{x}=\frac{2}{10+\sqrt{20}} \\ y=\frac{10-\sqrt{20}}{2} \\ .\text{'}. \frac{1}{y} =\frac{2}{10+\sqrt{20}} \\ এখন , \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \\ =\frac{2}{10+\sqrt{20}}+\frac{2}{10-\sqrt{20}} \\ =\frac{20-2\sqrt{20}+20+2(10+\sqrt{20)}}{(10+\sqrt{20})(10-\sqrt{20})} \\ =\frac{20-2\sqrt{20}+20+2\sqrt{20}}{{10}^2-\sqrt{{20}^2}} \\ =\frac{40}{100-20} \\ =\frac{40}{80} \\ =\frac{1}{2} \end{gathered}$$

প্রশ্নঃ কোনো ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটি সমষ্টি কত হবে?

বর্ণনাঃ

 ত্রিভুজের  তিনটি বাহু বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ তিনটি কোণ উৎপন্ন হয় তাদের সমষ্টি ৩৬০ ডিগ্রী । এখানে 
$$\begin{gathered} \angle p+\angle q +\angle r=180° \\ \angle x+\angle y+\angle z=180° \\ -\angle q+180°-<r \\ =540° -(\angle p+\angle q+\angle r) \\ =540°-180° \\ =360° \end{gathered}$$

প্রশ্নঃ কোনো বৃত্তের অভ্যন্তরে অঙ্কিত বৃহত্তম সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা 'p' হলে ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত?

বর্ণনাঃ

 সঠিক উত্তর $\frac{{\mathrm{\pi p}}^2}{3}$
 A বিন্দু হতে BC - এর উপরে  AD  লম্ব আঁকি। যেহেতু ABC 
 একটি সমবাহু ত্রিভুজ  কাজেই AD 
 একটি মধ্যমা  হবে এবং E  মধ্যমাত্রয়ের সমপাত বিন্দু হবে। 

প্রশ্নঃ $\angle A$ ও $\angle B$ পরস্পর সম্পূরক কোণ। $\angle A=115°,\angle B=কত?$

বর্ণনাঃ

$$\begin{gathered} \angle A ও \angle B \angle A + \angle B=180° \\ এখন, \angle A=115° \\ .\text{'}. \angle B=180°-115° \\ =65° \end{gathered}$$
 

প্রশ্নঃ ত্রিভুজ ABC তে AB=CA হলে নিচের কোনটি সঠিক?

বর্ণনাঃ

 AB=CA 
$.\text{'}.\angle ABC=\angle ACB$
কারণ ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর  বিপরীত কোণগুলোও পরস্পর সমান।