Trainee Asst. Officer 09.02.2018/গণিত এর প্রশ্ন পরুন ।

প্রশ্নঃ A certain river has a current of 4 miles per hour.A boat takes twice as long to travel upstream between two points as it does to travel downstream between the same two points . What is the speed of the boat in still water ?

বর্ণনাঃ

ধরি, মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব = x মাইল 
স্রোতের অনুকূলে মোট সময় লাগে = t ঘণ্টা
 $\therefore$  ,,    প্রতিকূলে     ,,     ,,     ,,  = 2t  
$\therefore$  ,, নৌকার বেগ +  স্রোতের বেগ = $\frac{x}{t}$   
নৌকার বেগ– স্রোতের বেগ = $\frac{x}{2t}$
$\frac{(-) (+) (-)}{2 \text{স্রোতের বেগ} {\displaystyle \frac{x}{2t}}}$
$\Rightarrow$  স্রোতের বেগ =$\frac{x}{4t}$
$\Rightarrow$ 4 = $\frac{x}{4t}$
$\Rightarrow$ $\frac{x}{t}$= 16 মাইল/ঘণ্টা
$\therefore$   স্রোতের বেগ +  নৌকার বেগ = 16 মাইল/ঘণ্টা   
$\Rightarrow$ নৌকার বেগ = (16 – 4) মাইল/ঘণ্টা = 12 মাইল/ঘণ্টা

প্রশ্নঃ If 4 years' interest of Principal tk.500 and 5 years interest of Principal Tk. 600 are Tk. 500 in total , what is the rate of interest ?

বর্ণনাঃ

এখানে, $I_1 +I_2 =500 \Rightarrow \frac{n_1{p}_{1}r}{100}+\frac{n_{21}p2r}{100}=500 \Rightarrow \frac{4\times 500\times r}{100}=\frac{5\times 600\times r}{100} =500\Rightarrow {20}_r+{30}_r =500 \Rightarrow r=\frac{500}{50} \Rightarrow r =10$
সুতরাং সুদের হার 10% 

প্রশ্নঃ $If{x}^2-7x+12<0,thenwhichofthefollowingistrue?$

বর্ণনাঃ

$$\begin{gathered} x^2 - 7x + 12 <0 \\ \Rightarrow x^2 - 4x + 3x +12 <0 \\ \Rightarrow x(x - 4) - 3 (x -4)<0 \\ \Rightarrow (x - 4) (x -3)<0 \end{gathered}$$

প্রশ্নঃ The area of a square on a straight line is how many times that on its one- third ?

বর্ণনাঃ

ধরি, সরলরেখার উপর অংকিত বর্গের দৈর্ঘ্য x একক 
$\therefore$বর্গের ক্ষেত্রফল =  $x^2$ বর্গএকক  
$\therefore$ বর্গের বাহুর এক-তৃতীয়াংশের দৈর্ঘ্য = $\frac{x}{3}$ একক 
$\therefore$ ক্ষেত্রফল =  $\frac{x^2}{9}$ বর্গ একক 
এখন, . $\frac{x^2}{{\displaystyle \frac{x^2}{9}}} =x^{2 } \times \frac{9}{x^{2 }} = 9$ 
$\therefore$ একটি সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্র ঐ সরলরেখার এক-তৃতীয়াংশের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের 3 গুণ ।

প্রশ্নঃ A two-digit number becomes five-sixth of itself when its digits are reversed . The two digits differ by one. What is the number ?

বর্ণনাঃ

ধরি, একক স্থানীয় অংক = x
দশক    ,,     ,,  = y
$\therefore$ সংখ্যাটি = 10 y  + x 
প্রশ্নমতে,  $\frac{5}{6}(10 y +x) =10x +y$
$\Rightarrow 50y + 5x =60x + 6y$
$\Rightarrow 44y =55x$
$\Rightarrow y = \frac{55}{44}x .......... \left(i\right)$
আবার, y – x =1
$\Rightarrow$ $\frac{55}{44}$  x – x = 1 [ (i) নং হতে] 
$\Rightarrow \frac{55x - 44x}{44}$= 1 
$\Rightarrow$11x = 44
$\Rightarrow$ x = 4 
$\therefore$ y – 4 = 1 
$\Rightarrow$ y 5 
$\therefore$ সংখ্যাটি হলো : 54।

প্রশ্নঃ If $x^2-3x+1=0$ ,what is the value of $x^2-1/x^2?$

বর্ণনাঃ

$x^2- 3x+1=0 \Rightarrow x^2 + 1 =3x \Rightarrow \frac{x^2 + 1}{x} =3 \Rightarrow x+\frac{1}{x} =3$
আবার, $$\begin{gathered} {\left(x - \frac{1}{x}\right)}^2 = {\left(x + \frac{1}{x}\right)}^2-4.x.\frac{1}{x} = \\ 3^3-4=5 \\ \therefore \left(x - \frac{1}{x}\right) =\sqrt{5} \\ \therefore x^2 -\frac{1}{x^2}= \left(x + \frac{1}{x}\right)\left(x - \frac{1}{x}\right) \\ =3.\sqrt{5} \\ =3\sqrt{5} \end{gathered}$$

প্রশ্নঃ 30 men took a dip in a water tank 20m long and 15m broad on a religious day.If the aveage water displacement of water by a man is 2m3, then the rise in the water level in the tank will be --

বর্ণনাঃ

30 জন লোকের পানির প্রয়োজন = (30 $\times$  2) $m^3$  = 60$m^3$
এখন, ধরি, উচ্চতা= hm 
$\therefore$ 20 $\times$15 $\times$ h = 60
$\Rightarrow h=\frac{60}{300}m \Rightarrow h=\frac{1}{5}m \Rightarrow h=\left(\frac{1}{5}\times 10 \right)m \Rightarrow h=20cm$

প্রশ্নঃ What is the fourth proportional of 3,9 and 4?

বর্ণনাঃ

আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে, ${\text{অতিভুজ}}^2{\text{ = লম্ব}}^2{\text{ + š D;ূমি}}^2$ 
এখানে, 
$a. 4^2 +3^2 =16+9=25 \not\equiv 6^2=36;$সুতরাং সম্ভব নয়। 
$b. 5^2 +4^2 =25+16=25 \not\equiv 6^2=36;$সুতরাং সম্ভব নয়। 
$c. 8^2 +7^2 =64+49=113 \not\equiv {11}^2=121;$সুতরাং সম্ভব নয়। 
$d. {12}^2 +5^2 =144+25=169 \not\equiv {13}^2=169;$ সুতরাং সম্ভব। 
$\therefore$ নির্দিষ্ট অনুপাতটি হলো : 13 : 12 : 5

প্রশ্নঃ which of the following is the ratio of the sides of a right angled triangle ?

বর্ণনাঃ

ধরি, চতুর্থ সমানুপাতিকটি x 
প্রশ্নমতে, 3 : 9 = 4 : x 
$\Rightarrow \frac{3}{9} = \frac{4}{x}$
$\Rightarrow$3x = 36 
$\Rightarrow$x = 12

প্রশ্নঃ What is the probability that product of two integers (not necessarily different integers ) randomly selected from the numbers 1 to 20, inclusive , is odd ?

বর্ণনাঃ

আমরা জানি, শুধুমাত্র দুটি বিজোড় সংখ্যার গুণফলই বিজোড় হয়। এখানে 1 থেকে 20 পর্যন্ত বিজোড় সংখ্যা 10টি এবং যেহেতু প্রশ্নে বলা হয়েছে সংখ্যা দুটি ভিন্ন নাও হতে পারে তাই সম্ভাব্যতা = $\frac{10\times 10}{20\times 20} = \frac{1}{4}$।

প্রশ্নঃ In an examination 40% of the total candidates are female .40% of female candidates and 30% of male candidates pass in the exam.What is the overall percentage of passing ?

বর্ণনাঃ

ধরি,
মোট পরীক্ষার্থী = 100 জন 
$\therefore$ মহিলা ,, = 40 ,, 
$\therefore$পুরুষ ,,  = 60 ,, 
মহিলা পরীক্ষার্থী পাশ করেন = $40 \times \frac{40}{100}$  জন = 16 জন
$\therefore$পুরুষ ,,    ,,    ,, =$60 \times \frac{30}{100}$  জন = 1৪ জন। 
$\therefore$সার্বিক পাশের হার = (16 +18)% = 34%

প্রশ্নঃ The length of a rectangular room is double of its breadth.If the area is 512 square inches , what is the perimeter ?

বর্ণনাঃ

ধরি, ঘরটির প্রস্থ = x ইঞ্চি  
$\therefore$ দৈর্ঘ্য ,,  = 2x  ইঞ্চি 
প্রশ্নমতে, x $\times$ 2 x = 512  
$\Rightarrow x^2$= 256 
$\Rightarrow$ x = 16 
$\therefore$ ঘরের প্রস্থ 16 ইঞ্চি
$\therefore$  ,,  দৈর্ঘ্য= (16  $\times$ 2) ,, = 32 ,, 
$\therefore$ পরিসীমা = 2 (16 + 32) ইঞ্চি 
= 96 ইঞ্চি 
= $\frac{96}{12}$ ফুট = ৪ ফুট।

প্রশ্নঃ If $\frac{Q}{r}=\frac{2}{3}$ ,what is the value of $\frac{r+Q}{r-Q}?$

বর্ণনাঃ

$\frac{Q}{r} =\frac{2}{3} \Rightarrow \frac{r}{Q}= \frac{3}{2}$[ব্যস্তকরণ করে]
$\Rightarrow \frac{r+Q}{r -Q} =\frac{3+2}{3-2}$ [ যোজন-বিয়োজন করে]
$\Rightarrow \frac{r+Q}{r -Q} = \frac{5}{1 }$
$\Rightarrow \frac{r+Q}{r -Q}=5$

প্রশ্নঃ The average weight of 6 persons of a group is 75 kg.If a person weighting 50 kg leaves the group, what will be the average weight of the group m?

বর্ণনাঃ

6 জনের মোট ওজন = (75 $\times$ 6) কেজি = 450 কেজি 
50 কেজির একজন চলে যাওয়ার মোট ওজনের সমষ্টি = (450 -  50) কেজি = 400 কেজি  
$\therefore$ বাকি 5 জনের গড় ওজন = $\frac{400}{5}$  কেজি = 80 কেজি।

প্রশ্নঃ Two chairs have been sold ,each for Tk. 3,600. On one 20% profit has been earned and on the other 20% loss has been incurred .What is total profit or loss ?

বর্ণনাঃ

মোট বিক্রয়মূল্য = (3600 + 3600) টাকা = 7200 টাকা  
প্রথম চেয়ারে 20% লাভ হলে ক্রয়মূল্য = $\frac{3600 \times 100}{120}$ টাকা = 3000 টাকা 
দ্বিতীয় চেয়ারে 20% ক্ষতি হলে ক্রয়মূল্য = $\frac{3600 \times 100}{80}$ = 4500 টাকা 
$\therefore$ মোট ক্রয়মূল্য = (3OOO + 4500) টাকা = 7500 টাকা  
$\therefore$ক্ষতি = (7500 – 72OO) টাকা = 300 টাকা

প্রশ্নঃ In the triangle ABC, angle B is equal to angle C and D is a point on BC.Which of the following is true ?

বর্ণনাঃ

এখানে B কোণ C কোণের সমান তাই AB = AC। সুতরাং ABC ত্রিভুজটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। তাই AB  $>$AC এবং AB $<$  AC সম্ভব নয়। আবার AC $⊲$ AD তাই অবশ্যই AC$>$ AD সত্য।

প্রশ্নঃ Monjur is 20 years older than Siad. However,5 years ago Monjur was twice as old as Siad.How old Monjur now ?

বর্ণনাঃ

ধরি, সিয়াদের বর্তমান বয়স = বছর  
$\therefore$ মঞ্জুরের    ,,   ,,     = (x  + 20)   ,,    
প্রশ্নমতে, 2(x – 5) = x + 20 – 5  
$\Rightarrow$ 2x – 10 = x + 20 – 5  
$\Rightarrow$ x = 25  
$\therefore$ মঞ্জুরের বর্তমান বয়স = (25 + 20) বছর = 45 বছর

প্রশ্নঃ Mujahid can do a work in 8 days, while has colleagues Asad takes 12 days and Mithun takes 16 days to complete the same.Mujahid and Asad started the work and after few days Asad left the work keeping it incomplete. Rest of the work was completed by Mujahid and Mithun in 2 days.How long it took to complete the whole work?

বর্ণনাঃ

ধরি, মোট কাজের পরিমাণ = একক। [8, 12 এবং 16 এর ল. সা. গু] 
মুজাহিদের দক্ষতা =$\frac{48}{8}$ = 6  
$\therefore$আসাদের ,, =  $\frac{48}{12}$ = 4
$\therefore$ মিঠুনের ,,  =  $\frac{48}{16}$ = 3  
ধরি, 
সম্পূর্ণ কাজ করতে তাদের x দিন সময় লাগে। 
প্রশ্নমতে, (x – 2) (6 + 4) + 2(6 + 3) = 48 
$\Rightarrow$10(x – 2) + 18 = 48 
$\Rightarrow$ 10x – 20 + 18 = 48 
$\Rightarrow$10x = 50 
$\therefore$ x = 5

প্রশ্নঃ If the integer x is divisible by 5 but not by 2, then which one of the following is never an integer ?

বর্ণনাঃ

একটি পূর্ণসংখ্যা যা 5 দ্বারা বিভাজ্য কিন্তু 2 দ্বারা বিভাজ্য নয় এমন সংখ্যাগুলো হলো, 5, 15, 25, 35…… ইতাদি। 
এখন,
 x  = 15 বিবেচনা করি 
a,   $\frac{15 +1}{8}$ = 8, যা একটি পূর্ণসংখ্যা। 
b.   $\frac{(15{)}^3 }{3}= \frac{3375}{3}$= 1125 যা একটি পূর্ণসংখ্যা। 
c.   $\frac{{15}^2 }{3}= \frac{115}{3}$ = 75 , যা একটি পূর্ণসংখ্যা। 
d.    $\frac{15 }{6}$= 2.5, 
যা একটি পূর্ণসংখ্যা নয়। 
সুতরাং $\frac{x }{6}$ পূর্ণসংখ্যা নয়।

প্রশ্নঃ What is the smallest number that should be added to 100 so that it can be completely divided by all the prime numbers between 10 to 15 ?

বর্ণনাঃ

আমরা জানি, 10 থেকে 15 এর মধ্যে অবস্থিত মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো 11 এবং 13। এখন 11 এবং 13 এর ল. সা. গু. হলো 143 । সুতরাং (143 – 100) = 43 । 
$\therefore$ 100 এর সাথে কমপক্ষে 43 যোগ করলে তা11 এবং13 দ্বারা বিভাজ্য হবে।